Задача 8239 Найдите наибольшее и наименьшее значение...

maria

30.03.2016

Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке

а) y=x+ln(-x), [-4; -0,5]

a) y=4*2^(3x)-27*2^(2x)+3*2^(x+3), [-2;0]

sova

30.03.2016

★

1)
y`=(x+ln(-x))`=1+(1/(-x))·(-x)`=1+(1/x)
y`=0
1+(1/x)=0 ⇒ (x+1)/x=0 ⇒ x=-1

[-4]___+___(-1)_-_[-0,5]

х=-1 - точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на _

y(1)=1+ln(-(-1))=1+ln1=1+0=1 - наибольшее значение на [-4;-0,5]

при х= - 4
у(-4)= - 4+ln 4= - 4+2 ln 2 - наименьшее значение на [-4;-0,5]
Так как
при х= - 0,5
у(-0,5)= -0,5 +ln0,5= -0,5-ln2
и
-4+2ln2 < -0,5- ln2, так как
3 ln2 < 4-0,5
ln2< 3,5/3
ln2 <1<3,5/3

2)
y`=(4·2^(3x)+27·2^(2x)+3·2^(x+3))`=
=4·2^(3x)·ln2·(3x)`+27·2^(2x)·ln2·(2x)`+3·2^(x+3)·ln2·(x+3)`=
=ln2·(12·2^(3x)+54·2^(2x)+24·2^x)=6·ln2·(2·2^(3x)+9·2^(2x)+4·2^x
так как
2^(x+3)=2^(x)·2^(3)

y`=0
12·2^(3x)+54·2^(2x)+24·2^x=0 ( 6·ln2≠0)
Замена переменной
2^(x)=t,
t>0
2t³+9t²+4t=0
t(2t²+9t+4)=0
t=0 или 2t²+9t+4=0
D=9²-4·2·4=81-32=49=7²
t=-4 или t=-0,5
ни один из корней не удовлетворяет условию t>0
Функция не имеет точек экстремума внутри интервала [-2;0)
у(-2)=4·2⁻⁶+27·2⁻⁴+3·2=(1/32)+(54/32)+6=7 целых 23/32 - наименьшее значение на [-2;0)
y(0)=4·2⁰+27·2⁰+3·2³=4+27+24=55- наибольшее значение на [-2;0)