Задача 41942 Решите пожалуйста( 25 а, б)...

ueisn

26 ноября 2019 г. в 20:05

Решите пожалуйста( 25 а, б)

sova

26 ноября 2019 г. в 20:33

a)
т.к.
sin²t–cos²t=–(cos²t–sin²t)=–cos2t;

2sintcost=sin2t

Упрощаем левую часть:

(sin²t+2sintcost–cos²t)²=

=(sin2t–cos2t)²=sin²2t–2sin2t·cos2t+cos²2t=

= (sin²2t+cos²2t)–sin4t=1–sin4t

1–sin4t=1–sin4t ( левая часть равна правой, тождество доказано)

б)

Упрощаем левую часть.
Так как
[m]cos\alpha -cos5\alpha =-2sin\frac{\alpha -5\alpha }{2}\cdot sin\frac{\alpha+5\alpha }{2}=-2sin(-2\alpha) \cdot sin3\alpha =[/m]

[m]=2sin2\alpha) \cdot sin3\alpha[/m]

то числитель:

cos α –2sin3 α –cos5 α =(cos α –cos5 α )–2sin3 α =

=2sin2 α sin3 α –2sin3 α =2sin3 α ·(sin2 α –1)

так как

[m]sin5\alpha -sin\alpha =2sin\frac{5\alpha -\alpha }{2}\cdot cos\frac{5\alpha+\alpha }{2}=2sin2\alpha \cdot cos3\alpha[/m], то

знаменатель

sin5 α –2cos3 α –sin α =(sin5 α –sin α )–2cos3 α =

=2sin2 α cos3 α –2cos3 α =2cos3 α ·(sin2 α –1)

Левая часть
[m]\frac{cos\alpha -2sin3\alpha -cos5\alpha }{sin5\alpha-2cos3\alpha-sin\alpha }=\frac{2sin3\alpha (sin2\alpha -1)}{2cos3\alpha( sin2\alpha -1)}=\frac{sin3\alpha }{cos3\alpha }=tg3\alpha[/m]

tg3 α =tg3 α ( левая часть равна правой части), тождество доказано