Задача 45617 Две окружности пересекаются в точках А и...

slava191

2020-03-30 12:51:43

Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки С, лежащей на продолжении отрезка АВ за точку В, проведены касательная СК к первой окружности, не пересекающая
вторую окружность, и касательная СТ ко второй окружности, не пересекающая первую окружность (К и Т — точки касания). Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает дугу АКB первой окружности в точке Р, а дугу АТВ второй окружности — в точке Н.

а) Докажите, что СТ = СК.

б) Найдите длину отрезка КТ, если СТ = 1, а сумма дуг КР и ТН равна 60°. [16п1]

sova

2020-03-31 18:14:13

★

[red]a)[/red]
Из точки А к каждой окружности проведены[i] касательная[/i] и [i]секущая[/i].
По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки:
CK^2=CB*CA и СT^2=CB*CA
Правые части равны, значит CK^2=CT^2 ⇒ [b]CK=CT[/b]

[red]б)[/red]
СТ=1; ∪ KP+ ∪ TH = 60 °
Найти KT
∠ PO_(1)K и ∠ TO_(2)H - [i]центральные[/i], они измеряются величиной дуги, на которую опираются


∠ PO_(1)K= ∪ KP
∠ TO_(2)H= ∪ TH

∠ PO_(1)K+ ∠ TO_(2)H = 60 °

В четырехугольнике СКО_(1)В
∠ СКО_(1)=90 ° и СМО_(1)=90 °
Значит,
∠ КО_(1)B + ∠ KCB=180 °
∠ КО_(1)B - смежный с ∠ PO_(1)K
∠ KCB=∠ PO_(1)K

Аналогично, из четырехугольника СМО_(2)Т
∠ ВСТ= ∠ TO_(2)H

∠ KCB+ ∠ ВСТ= ∠ PO_(1)K+∠ TO_(2)H=60 ° ⇒
[b] ∠ КСТ=60 ° [/b]


Δ СКТ равнобедренный, угол при вершине 60 ° ; значит это равносторонний треугольник и КТ=1

О т в е т. [b]1[/b]