Задача 10916 а) Решите уравнение 1/sin^2x-1-ctgx=0 б)...

slava191

27 октября 2016 г.

а) Решите уравнение 1/sin²x–1–ctgx=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–π/2; π/2]

SOVA

27 октября 2016 г.

★

сtgx=cosx/sinx
Уравнение примет вид
(1/sin²x)–1–(cosx/sinx)=0.
Приводим к общему знаменателю
(1–sin²x–cosx•sinx)/sin²x=0
Дробь равна 0 тогда и только тогда когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
Система
{1–sin²x–cosx•sinx=0
{sin²x≠0

Так как 1–sin²x=cos²x, то первое уравнение перепишется так:
cos²x–cosx•sinx=0
cosx(cosx–sinx)=0
cosx=0 или сosx–sinx=0
x=(π/2)+πk, k∈ Z или tg x=1
x=(π/4)+πn, n∈ Z
Учитывая sinx≠0 x≠πm, m∈ Z
получаем ответ.
О т в е т. x=(π/2)+πk, x=(π/4)+πn, k,n∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
х=–(π/2); х=(π/4); х=(π/2)