Задача 43558 ...

vk190911177

2020-01-21 16:13:41

Записать структуру частного решение линейного неоднородного уравнений по виду правой части
y''-y'-6y= ƒ (x)
a) ƒ (x)=2xe^(3x)

Помогите пожалуйста решить

sova

2020-01-21 20:06:56

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Однородное уравнение имеет вид:

y''–y'–6y=0

Составляем характеристическое уравнение:

λ ^2-λ -6=0

D=25

λ _(1)=-2 или λ_(2)=3

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид:

y=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)

Подставляем
λ _(1)=-2 или λ _(2)=3

[b]y_(одн)= C_(1) e^(-2x)+C_(2)e^(3x)[/b] - общее решение однородного уравнения

Общее решение неоднородное дифференциального уравнения

y=y_(одн)+у_(частное)

у_(частное)- решение неоднородного уравнения:

y''–y'–6y=f(x)

f(x)=2xe^3x

Запишем общий вид таких функций:

f(x)=(ax+b)*e^(λx)

a=2; b=0; λ =3

Так как λ _(2)=3 является корнем характеристическое уравнение:

то частное решение находим в виде, похожем на правую часть и умножаем на х

у_(частное)=(ax+b)*e^(λx) * x

Нахордим
y`
y``

и подставляем в данное уравнение