Задача 37792 Прямая l задана в пространстве общими...

vasyuk88

2019-05-30 09:24:49

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой 1 l, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
Общие уравнения прямой l
2x–3y–2z+6=0
x–3y+z+3=0
Координаты точки М (0;2;–1)
Общее уравнение плоскости Р x–2y+3z–4=0

sova

2019-05-30 15:06:16

★

Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–3y–2z+6=0
{x–3y+z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{-3y-2z+6=0
{-3y+z+3=0

Вычитаем из первого второе:

-3z+3=0
z=1

3y=z+3
y=4/3

[b]А(0; 4/3; 1)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x-2z+6=0
{x+z+3=0

умножаем второе на 2 и складываем

{2x-2z+6=0
{2x+2z+6=0

4х+12=0
х=-3

z=0

[b]В(-3;0;0)[/b]


Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]А(0; 4/3; 1)[/b] и [b]В(-3;0;0)[/b]


(x-0)/-3-0=(y+(4/3))/(0-(4/3))=(z-1)/(0-1)

[b]x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l

Уравнение прямой l_(1) параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;-1)
с таким направляющим вектором

vector{s}=(-3;4/3;-1)
[b]x-0/(-3) =(y-2)/(-4/3) =(z+1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l_(1)

Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.

Вводим параметр:
x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)=t

{x=-3t
{y=(-4/3)t-(4/3)
{z=-t+1

Подставляем в уравнение плоскости Р
(-3t)–2*((-4/3)t-(4/3))+3*(-t+1)–4=0

t=1/2

тогда

х=-3/2
y=-2
z=1/2

[b](-3/2;-2;1/2)[/b] - точка пересечения прямой l и пл. Р