Задача 37792 Прямая l задана в пространстве общими...

vasyuk88

30 мая 2019 г. в 09:24

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой 1 l, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
Общие уравнения прямой l
2x–3y–2z+6=0
x–3y+z+3=0
Координаты точки М (0;2;–1)
Общее уравнение плоскости Р x–2y+3z–4=0

sova

30 мая 2019 г. в 15:06

★

Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–3y–2z+6=0
{x–3y+z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{–3y–2z+6=0
{–3y+z+3=0

Вычитаем из первого второе:

–3z+3=0
z=1

3y=z+3
y=4/3

А(0; 4/3; 1)

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x–2z+6=0
{x+z+3=0

умножаем второе на 2 и складываем

{2x–2z+6=0
{2x+2z+6=0

4х+12=0
х=–3

z=0

В(–3;0;0)


Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

А(0; 4/3; 1) и В(–3;0;0)


(x–0)/–3–0=(y+(4/3))/(0–(4/3))=(z–1)/(0–1)

x/(–3) =(y+(4/3))/(–4/3) =(z–1)/(–1) – каноническое уравнение

прямой l

Уравнение прямой l₁ параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;–1)
с таким направляющим вектором

s=(–3;4/3;–1)
x–0/(–3) =(y–2)/(–4/3) =(z+1)/(–1) – каноническое уравнение

прямой l₁

Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.

Вводим параметр:
x/(–3) =(y+(4/3))/(–4/3) =(z–1)/(–1)=t

{x=–3t
{y=(–4/3)t–(4/3)
{z=–t+1

Подставляем в уравнение плоскости Р
(–3t)–2·((–4/3)t–(4/3))+3·(–t+1)–4=0

t=1/2

тогда

х=–3/2
y=–2
z=1/2

(–3/2;–2;1/2) – точка пересечения прямой l и пл. Р