Задача 35087 Помогите пожалуйста решить...

vk457319503

2019-03-28 19:59:38

Помогите пожалуйста решить дифференциальные уравнения

sova

2019-03-28 20:28:19

3) Однородное
y`=(4x^2+3xy+y^2)/(4y^2+3xy+x^2)

делим и числитель и знаменатель дроби справа на x^2

y`=(4+3*(y/x)+(y/x)^2)/(4(y/x)^2+3(y/x)+1)


Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
y`=u+x*u`

u+x*u`= (4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1)

x*u`=(4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1) - u

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1)

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= dx/x

Интегрируем.

∫ (4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= ∫ dx/x

Интеграл слева - интеграл от рациональной дроби.
Раскладываем знаменатель на множители, раскладываем дробь на простейшие методом неопределённых коэффициентов, находим коэффициенты.
Получаем ответ

2)
Линейное неоднородное диф уравнение первого порядка.

Решаем либо методом вариации произвольных постоянных, либо методом Бернулли.

метод Бернулли.

Решение ищут в виде произведения [b]двух произвольных [/b]функций

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-2*u*v=e^(2x)


u`*v+u*(v`-2*v)=e^(2x)

На функцию v(x) накладываем условия
пусть
v`-2*v=0
dv/dx=2v
dv/v=2dx
lnv=2x
v=e^(2x)

тогда
u`*e^(2x)+u*( [b]0[/b])=e^(2x)
u`=1
u=x+C

y=u*v= [b](x+C)*e^(2x)[/b]