Задача 41383 ...

dial

2019-11-10 01:08:31

3loq^2_4 (4-x)^8+4loq_0,5 (4-x)^6 ≥ 7,2

sova

2019-11-10 22:50:03

[blue]ОДЗ:[/blue]
{(4-x)^8 >0 ⇒ x ≠ 4
{(4-x)^6>0 ⇒ x ≠ 4

[blue]х ∈ (- ∞ ;4)U(4;+ ∞ )[/blue]

log_(4)(4-x)^8=log_(2^2)((4-x)^2)^4=(4/2)*log_(2)(4-x)^2=2log_(2)(4-x)^2

log_(0,5)(4-x)^6=log_(2^(-1)((4-x)^2)^3=(3/(-1))*log_(2)(4-x)^2=-3*log_(2)(4-x)^2

Неравенство принимает вид:

3*(2log_(2) (4–x)^2)^2+4*(-3*log_(2) (4–x)^2) ≥ 7,2

3*(4log^2_(2) (4–x)^2)+4*(-3*log_(2) (4–x)^2)-7,2 ≥ 0

Замена переменной:
log_(2)(4-x)^2=t

12 t^2-12t-7,2 ≥ 0

t^2-t-0,6 ≥ 0

D=1^2-4*(-0,6)=3,4

t ≤ (1-sqrt(3,4)/2 или t ≥ (1+sqrt(3,4))/2

Обратная замена
[red]log_(2)(4-x)^2≤ (1-sqrt(3,4))/2[/red] или [red]log_(2)(4-x)^2 ≥ (1+sqrt(3,4))/2 [/red]