Задача 11978 В прямоугольном треугольнике ABC (угол С...

Uiop

30.11.2016

В прямоугольном треугольнике ABC (угол С - прямой) проведены биссектриса AL и медиана ВМ, пересекающиеся в точке Р. треугольника АВС, если известно, что АР = 25, LP = 17. О ближайшего целого числа.

SOVA

01.12.2016

★

c=АВ=2R.
AC=2R*cos∠A;
BC=2R*sin∠A.
Биссектриса λ угла α, заключенного между сторонами а и b, вычисляется по формуле:
λ=(2abcos(α/2)/(a+b)
Поэтому
АР=2*AM*AB*cos(∠A/2)/(AM+AB)- биссектриса треугольника АМВ.
2*R*cos∠A*2R*cos(∠A/2)/((R/2)cos∠A+2R)=25;
AL=2*AC*AB*cos(∠A/2)-биссектриса треугольника АВС
4R*cos∠A*2R*cos(∠A/2)/(Rcos∠A+2R)=42;
cos∠A=8/17.
cos(∠A/2)=sqrt((1+cos∠A)/2)=5/sqrt(34).

АС=AL*cos(∠A/2))=42*5/sqrt(34)=210/sqrt(34)
sin∠A=sqrt(1-cos^2∠A)=sqrt(1-(8/17)^2)=15/17
tg∠A=sin∠A/cos∠A=15/8
BC=AC*tg∠A=(210/sqrt(34))*(15/8)

S(Δ ABC)=AC*BC/2=(210/sqrt(34))*(210/sqrt(34))*(15/8)=
=(44100*15)/(34*8*2)=1215,99265≈1216 кв. ед.