Задача 31703 Основанием правильной треугольной...

vk446664134

9 декабря 2018 г. в 04:52

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 12. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины рёбер AC и BC проведена плоскость а. а)Докажите, что сечение пирамиды плоскостью а является равносторонним треугольником.

sova

9 декабря 2018 г. в 10:07

Так как пирамида правильная, то вершина М проектируется в точку O– центр вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.

AB=BC=AC=12

Cередины рёбер AC и BC обозначим F и К

АК – высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника АВС

АК=12·sin60^o=6√3


Пусть MA=MB=MC=x

MK – высота медиана и биссектриса равнобедренного треугольника МВС.

MK²= МВ²–BK²=x²–6²=x²–36

Из прямоугольного треугольника АМК
MK²=AK²–AM²=(6√3)²–x²

Уравнение
x²–36=(6√3)²–x²
2x²=144
x²=72

MK²=72–36=36
MK=6

Аналогично, MF=6

MK=MF=6
FK– средняя линия треугоьника АВС
АК=(1/2)АС=6

Треугольник MFK – равносторонний.