Задача 31703 Основанием правильной треугольной...

vk446664134

2018-12-09 04:52:54

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 12. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины рёбер AC и BC проведена плоскость а. а)Докажите, что сечение пирамиды плоскостью а является равносторонним треугольником.

sova

2018-12-09 10:07:44

Так как пирамида правильная, то вершина М проектируется в точку O- центр вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.

AB=BC=AC=12

Cередины рёбер AC и BC обозначим F и К

АК - высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника АВС

АК=12*sin60^(o)=6sqrt(3)


Пусть MA=MB=MC=x

MK - высота медиана и биссектриса равнобедренного треугольника МВС.

MK^2= МВ^2-BK^2=x^2-6^2=x^2-36

Из прямоугольного треугольника АМК
MK^2=AK^2-AM^2=(6sqrt(3))^2-x^2

Уравнение
x^2-36=(6sqrt(3))^2-x^2
2x^2=144
x^2=72

MK^2=72-36=36
MK=6

Аналогично, MF=6

MK=MF=6
FK- средняя линия треугоьника АВС
АК=(1/2)АС=6

Треугольник MFK - равносторонний.