Задача 10471 Найдите все значения параметра а, при...

slava191

10 октября 2016 г. в 00:00

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнение не имеет решений.

system{cos(cosx)–cosy = (a²+1)·(y–cosx); 2y²–(3a–8)·cosx+a²–4a = 0}

SOVA

11 сентября 2016 г. в 00:00

★

Пусть cosx=t, первое уравнение принимает вид:
сost–cosy=(a²+1)·(y–t)
так как с одной стороны
(f(b)–f(a))/(b–a)=f`(c),
с ∈[a;b]
С другой стороны
(f(b)–f(a))/(b–a) =tg α, где α угол наклона касательной в точке с
при f(z)=cosz и (cosz)`=–sinz

уравнение примет вид
sinc=a²+1

Так как a²+1 > 1 при всех а, кроме 0,
при а =0 sinc =1 ⇒ c=(π/2)+2πk, k∈Z
возможные корни первого уравнения, при этом
cosc=0
и второе уравнение принимает вид:
2y²=0 ⇒ y=0
Итак, при а=0 уравнение имеет корни.

Первое уравнение имеет корни и при y–t=0 или
при у–cosx=0
Подставим у=cosx во второе уравнение.
Уравнение принимает вид
2y²–(3a–8)y+a²–4a=0
D=(3a–8)²–4·2·(a²–4a)=
=9a²–48a+64–8a²+32a=
=a²–16a+64=(a–8)²
y₁=(3a–8–a+8)/4=a/2 или y₂=(3a–8+a–8)/4=a–4

cosx=a/2 или cosx=a–4
Уравнения имеют корни
1) при |a/2| ≤ 1 ⇒
|а| меньше или равно 2.
2) при |a–4| меньше или равно 1 ⇒
3 ≤ a ≤ 5
Уравнение имеет хотя бы один корень при х∈[–2;5]
a=0 принадлежит этому отрезку.

О т в е т. Система уравнений не имеет корней при
х∈(–∞;–2)U(5;+∞).