Задача 35048 Найдите общее решение дифференциального...

vk459344689

27 марта 2019 г. в 23:02

Найдите общее решение дифференциального уравнения

sova

28 марта 2019 г. в 13:24

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k²+6=0

k1=–√6·i; k2=√6i– корни комплексно–сопряженные

α =0 β=√6

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_одн.=С₁·cos√6x+C₂sin√6x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=e^х·(Asin4x+Bcos4x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_част=e^x·(Asin4x+Bcos4x)+e^x·(4Acos4x–4Bsin4x)

y`_част=e^x·(Asin4x+Bcos4x+ 4Acosx–4Bsinx)


y``_част=e^x(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x–4Bsin4x)+e^x·(4Acos4x–4Bsin4x–16Asin4x–16Bcos4x)

y``_част=e^x(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x–4Bsin4x+4Acos4x–4Bsin4x–16Asin4x–16Bcos4x)

подставляем в данное уравнение:

e^x(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x–4Bsin4x+4Acos4x–4Bsin4x–16Asin4x–16Bcos4x)+6·e^х·(Asin4x+Bcos4x)=e^x·(cos4x–8sin4x)

e^x(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x–4Bsin4x+4Acos4x–4Bsin4x–16Asin4x–16Bcos4x+6Asin4x+6Bcos4x)=e^x·(cos4x–8sin4x)

Asin4x–4Bsin4x–4Bsin4x–16Asinx+6Asin4x=–8sin4x
Bcos4x+ 4Acos4x+4Acos4x–16Bcos4x+6Bcos4x)=cos4x

Cистема:
{A–4B–4B–16A+6A=–8
{B+4A+4A–16B+6B=1

{9A+8B=8
{8A–9B=1

A=80/145=16/29
B=11/29
y_част=e^х·((16/29)·sin4x+(11/29)·cos4x)

О т в е т.
Общее решение :
у=y_одн.+y_част=С₁·cos√6x+C₂sin√6x+e^х·((16/29)·sin4x+(11/29)·cos4x)