Задача 32348 ...

qwerqwer1234

2018-12-23 16:47:07

Вычислить определенный интеграл ∫_(0)^(0,5) sin(x)^(2)/x^2 c точностью до 0,001 разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем, проинтегрировав его почленно.

sova

2018-12-23 17:44:17

★

sinx=x-(x^(3)/3!)+(x^(5)/5!)+ ...

sinx^2=x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+ ...

(sinx^2)/x^2=(x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+...)/x^2=1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...

∫^(0,5)_(0)( sin(x)^2/x^2) dx=

=∫^(0,5)_(0)(1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...)dx=

≈(x -(x^5/30) +(x^(9)/(9*5!)))|^(0,5)_(0)=

=0,5 - (0,5)^(5)/30 + (0,5)^(9)/1080

Достаточно взять первые два слагаемых
Тогда точность не превышает первого отброшенного,
т. е (0,5)^(9)/1080