Задача 44288 ...

slava191

2020-02-15 17:56:16

Решите неравенство:

[m]\frac{14^x}{7(log_7(x-3)^2)^4*log_6(x+2)} ≤ \frac{(4*2^x)^x}{4(log_7(x-3)^2)^4*log_6(x+2)}[/m]

sova

2020-02-15 18:08:07

★

ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x>-2
{log_(6)(x+2) ≠ 0 ⇒ x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{(x-3)^2>0 ⇒ x ≠ 3
{log_(7)(x-3)^2 ≠ 0 ⇒ (x-3)^2 ≠ 1 ⇒ x-3 ≠ ± 1 ⇒ x ≠ 2 и x ≠ 4

x ∈ (-2;-1) U (-1;2) U(2;3) U (3;4) U (4;+ ∞ )

Так как в условиях ОДЗ:

(log_(7)(x-3)^2)^4 >0

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{14^{x}}{7\cdot log_{6}(x+2)}\leq \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4\cdot log_{6}(x+2)}[/m]

[m]\frac{2^{x}\cdot 7^{x-1}-4^{x-1}2^{x^2}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

2^(x) > 0 при любом х

[m]\frac{ 7^{x-1}-4^{x-1}2^{x^2-x}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

[m]\frac{ 7^{x-1}-4^{x-1}\cdot (2^{x})^{x-1}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

Нули знаменателя:
[m]log_{6} (x+2) =0[/m] ⇒ [m]x=-1 [/m] (было в нахождении ОДЗ)

Нули числителя:

[m] 7^{x-1}-4^{x-1}\cdot (2^{x})^{x-1}=0 [/m]


[m](\frac{7}{4})^{x-1}=(2^{x})^{x-1}[/m]


логарифмируем по основанию 2

[m]log_{2}(\frac{7}{4})^{x-1}=log_{2}(2^{x})^{x-1}[/m]


[m](x-1)\cdot log_{2}\frac{7}{4}=(x-1)\cdot log_{2}2^{x}[/m]

[m](x-1)\cdot ( log_{2}\frac{7}{4}- log_{2}2^{x})=0[/m]

[m](x-1)\cdot ( log_{2}\frac{7}{4}-x)=0[/m]

[m]x-1=0[/m] ⇒[m] x=1[/m] или [m] x=log_{2}\frac{7}{4}[/m]

[m]0= log_{2}1<log_{2}\frac{7}{4}< log_{2}2=1[/m]

Знаки числителя на ОДЗ:

(-2)_ -_ (-1) _-_ [[red]log_(2) (7/4)[/red]] _+_ [[red]1[/red]] _ -_ (2) _-_ (3) _-_ (4) _- __



(-2)_ -_ (-1) _+_ [[red]log_(2) (7/4)[/red]] _+_ [[red]1[/red]] _ +_ (2) _+_ (3) _+_ (4) _+ __

так как:
log_(6)(x+2) <0 ⇒ x < -1 на (-2;-1)

log_(6)(x+2)>0 ⇒ x>-1


Дробь принимает отрицательные значения там, где числитель и знаменатель имеют разные знаки:

(-1;[m]log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup(4;+ ∞ )[/m]


О т в е т. (-1;[m]log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup(4;+ ∞ )[/m]