Задача 28882 ...

vk474052124

7 октября 2018 г. в 00:00

Решите неравенство sin x > √3 |cos x| – √2

SOVA

7 октября 2018 г. в 00:00

★

Перепишем
√3·|cosx|–sinx < sqrt (2)

Рассматриваем два случая:
1)
cosx ≥ 0
x ∈ [(–π/2)+2πn;(π/2)+2πn], n ∈ Z
√3cosx–sinx < √2
Применяем метод вспомогательного угла
Делим обе части неравенства на 2
(√3/2)·cosx – (1/2)·sinx < √2/2;
Пусть cos phi=√3/2; sinphi=1/2
phi π/6
cos(π/6)·cosx–sin(π/6)sinx < √2
cos(x+(π/6)) < √2/2
(π/4)+2πm < x+(π/6) < (7π/4)+2πm, m ∈ Z
(π/4)–(π/6)+2πm < x < (7π/4)–(π/6)+2πm, m ∈ Z
(π/12)+2πm < x < (19π/12) + 2πm , m ∈ Z

C учетом x ∈ [(–π/2)+2πn;(π/2)+2πn], n ∈ Z
получаем ответ в первом случае

(π/12)+2πm < x < (π/2) + 2πm , m ∈ Z


2)

сosx < 0 ⇒ x ∈ ((π/2)+2πk,(3π/2)+2πk), k ∈ Z

Неравенство примет вид:

sinx > √3·(–cosx) – √2

sinx +√3cosx > – √2

Делим на 2
(1/2)·sinx + (√3/2)·cosx > – √2/2

sin(π/6)·sinx+ cos(π/6)·cosx > –√2/2

cos(x–(π/6)) > –√2/2

(–3π/4)+2πn < x – (π/6) < (3π/4) + 2πn, n ∈ Z

(–3π/4)+(π/6)+2πn < x < (3π/4) +(π/6) + 2πn, n ∈ Z

((–7π/12)+2πn < x < (11π/12) + 2πn, n ∈ Z

с учетом x ∈ ((π/2)+2πk,(3π/2)+2πk), k ∈ Z

получаем ответ второго случая

((π/2)+2πk; (11π/12)+2πk)U ((17π/12)+2πk; (3π/2)+2πk), k ∈ Z

О т в е т.
((π/12)+2πk,(11π/12)+2πk)U ((17π/12)+2πk; (3π/2)+2πk), k ∈ Z