Задача 44171 а) Решите уравнение...

slava191

2020-02-13 00:21:05

а) Решите уравнение (4sin^2x-3)sqrt(x^2-36Pi^2) = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [15; 20].

sova

2020-02-13 16:41:22

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

[red]Первый множитель равен 0:[/red]

{4sin^2x-3=0 ⇒ sin^2x=3/4 ⇒ sinx= ± sqrt(3)/2
{x^2-26π^2 ≥ 0 ⇒ (x-6π)*(x+6π) ≥ 0 ⇒ x ≤ -6π или x ≥ 6π

Так как уравнение
sinx=sqrt(3)/2

имеет корни в первой и во второй четверти:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=(2π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение
sinx=-sqrt(3)/2
имеет корни в третьей и четвертой четверти:
x= -(π/3)+2πn, n ∈ Z и х= - (2π/3) +2πm, m ∈ Z

( см. рис.1)

, то корни уравнения можно записать в виде:

x= (π/3)+πk, k ∈ Z или x= -(π/3)+πm, m ∈ Z

( cм рис. 2)

Второму неравенству системы не удовлетворяют корни:

при k=-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5(см. рис.3)

На нем 6 витков окружности
от [-6π;-4π]; [-4π;-2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при k=-6;-5;

на последнем при k=4;5

и

не удовлетворяют корни при

m=-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

(см. рис.4)

На нем 6 витков окружности
от [-6π;-4π]; [-4π;-2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при m=-5;-4;

на последнем при m=5;6

[red]о т в е т первого случая[/red]
x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

[red]Второй множитель равен 0[/red]

sqrt(x^2-36π^2)=0 ⇒ x^2-36π^2=0 ⇒ x= ± 6π

[red]о т в е т второго случая[/red] x= ± 6π

б)
4π<15<5π
6π<20<7π

Указанному промежутку [15;20] принадлежат корни:
[b]x_(1)[/b]=(π/3)+6π=[b]19π/3[/b]

[b]x_(2)=6π[/b]

О т в е т.
а)x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

б)x= ± 6π