Задача 44171 а) Решите уравнение...

slava191

13 февраля 2020 г. в 00:21

а) Решите уравнение (4sin²x–3)√x²–36π² = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [15; 20].

sova

13 февраля 2020 г. в 16:41

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Первый множитель равен 0:

{4sin²x–3=0 ⇒ sin²x=3/4 ⇒ sinx= ± √3/2
{x²–26π² ≥ 0 ⇒ (x–6π)·(x+6π) ≥ 0 ⇒ x ≤ –6π или x ≥ 6π

Так как уравнение
sinx=√3/2

имеет корни в первой и во второй четверти:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=(2π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение
sinx=–√3/2
имеет корни в третьей и четвертой четверти:
x= –(π/3)+2πn, n ∈ Z и х= – (2π/3) +2πm, m ∈ Z

( см. рис.1)

, то корни уравнения можно записать в виде:

x= (π/3)+πk, k ∈ Z или x= –(π/3)+πm, m ∈ Z

( cм рис. 2)

Второму неравенству системы не удовлетворяют корни:

при k=–6;–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5(см. рис.3)

На нем 6 витков окружности
от [–6π;–4π]; [–4π;–2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при k=–6;–5;

на последнем при k=4;5

и

не удовлетворяют корни при

m=–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6

(см. рис.4)

На нем 6 витков окружности
от [–6π;–4π]; [–4π;–2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при m=–5;–4;

на последнем при m=5;6

о т в е т первого случая
x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ –6;–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6

Второй множитель равен 0

√x²–36π²=0 ⇒ x²–36π²=0 ⇒ x= ± 6π

о т в е т второго случая x= ± 6π

б)
4π<15<5π
6π<20<7π

Указанному промежутку [15;20] принадлежат корни:
x₁=(π/3)+6π=19π/3

x₂=6π

О т в е т.
а)x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ –6;–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6

б)x= ± 6π