Задача 29551 Найдите площадь треугольника со...

slava191

2018-09-09 13:24:11

Найдите площадь треугольника со сторонами а, b и с, его высоту, медиану и биссектрису, проведенные к стороне с, а также радиусы вписанной и описанной окружностей. [9.54]

sova

2018-09-09 20:48:10

★

Площадь треугольника со сторонами а, b и с :

S=sqrt(p*(p-a)P(p-b)*(p-c)),
p=(a+b+c)/2

[b]S=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/4[/b]

Высота, проведенная к стороне с

h_(c)=2S/c

[b]h_(c)=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/(2c)[/b]

Mедиана, проведенная к стороне с:
Удваиваем медиану, получаем параллелограмм.
Удвоенная медиана и сторона c - диагонали.
Так как в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме всех сторон, то
(2m_(c))^2+c^2=2a^2+2b^2 ⇒

[b]m_(c)=(sqrt(2a^2+2b^2-c^2))/2 [/b]

Биссектриса, проведенная к стороне с:
(см.рис.)
По свойству биссектрисы угла треугольника :
биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

AL : LB= AC : BC

AL=(b/a)LB

AL+LB=AB

(b/a)LB+LB=c ⇒ LB=ac/(a+b)

AL=c - LB= bc/(a+b)

В треугольниках ACL и BCL

∠ ACL= ∠ BCL= α

По теореме косинусов

сos α =(AC^2+CL^2-AL^2)/(2AC*CL)
и
сos α =(ВC^2+CL^2-ВL^2)/(2ВC*CL)

Приравниваем правые части:

(AC^2+CL^2-AL^2)/(2AC*CL)=(ВC^2+CL^2-ВL^2)/(2ВC*CL) ⇒

[b]СL=sqrt(ab(a+b)^2-abc^2)/(a+b)[/b]

r=S/p

[b]r=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/(2(a+b+c))[/b]

R=abc/4S

[b]R=abc/sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))[/b]