Задача 41766 ...

globaiv

21 ноября 2019 г. в 09:26

Установить, какую кривую определяет данное уравнение.
Найти:
1) координаты еѐ центра С;
2) полуоси;
3) координаты фокусов;
4) эксцентриситет;
5) уравнение директрисы;
6) уравнение асимптот (для гиперболы).
X2–4y2+6x+32y–119=0

с решением

sova

21 ноября 2019 г. в 10:31

Группируем, чтобы выделить полные квадраты:
(x²+6x)–(4y²–32y)–119=0

(x²+2·x·3+3²)–3²–4·(y²–2·y·4+4²)+4·4²–119=0

(x+3)²–4·(y–4)²=64

Делим на 64

(x+3)²/64 – (y–4)²/16 = 1 – гипербола

c центром C(–3;4)
полуоси
a=8
b=4

c²=a²+b²=64+16=80
c=√80=√16·5=4√5

F(–4√5;4) и F(4√5;4) – фокусы

ε =с/a=4√5/8=√5/2

Для гиперболы
x²/a²+y²/b²=1

Асимптоты
y= ± (b/a)x

Для данной гиперболы
уравнения асимптот имеют вид:
y= ± (4/8)x + m

Асимптоты проходят через точку С.
Подставляем координаты точки С в уравнение:
y=– (1/2)x + m

4=–(1/2)·(–3)+m

m=2,5

Подставляем координаты точки С в уравнение:
y= (1/2)x + m

4=(1/2)·(–3)+m

m=5,5

О т в е т. y= –0,5x+2,5 и y= 0,5x+5,5