Задача 44515 1. Найдите наибольшее целое решение...

apricot

24 февраля 2020 г. в 18:13

1. Найдите наибольшее целое решение неравенства
[m] \log_{1/2}(x+2) > -2 [/m]
а) 1
б) –2
в) 2
г) 0

2. Найти число целых решений неравенства
[m] \log_{1/2} (x^2 - 3x + 2) \geq 1 [/m]
а) 2
б) 5
в) 6

3. Найти сумму целых решений неравенства
[m] \log_6 (x + 2) < \log_6 \frac{18}{7-x} [/m]
а) 9
б) 8
в) 10
г) 12

4. Решение неравенства
[m] \log_{1/3} \frac{1-2x}{x} \leq 0 [/m]
имеет вид
а) [m] \left( 0; \frac{1}{3} \right] [/m]
б) [m] \left( 0; \frac{1}{3} \right) [/m]
в) [m] \left[ 0; \frac{1}{3} \right) [/m]
г) [m] \left( 0; \frac{1}{3} \right] [/m]

sova

24 февраля 2020 г. в 18:20

★

1.
log_1/2(x+2)>–2 ⇒ log_1/2(x+2)>log_1/2·4

так как

log_1/2(x+2)>–2·1, 1=log_1/2(1/2)

log_1/2(x+2)>–2·log_1/2·(1/2)

log_1/2(x+2)>log_1/2·(1/2)^–2

log_1/2(x+2)>log_1/2·4


Логарифмическая функция с основанием (1/2) убывающая.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

Это означает, что
(x+2) < 4

Знак неравенства сменился на противоположный по смыслу

Но логарифмическая функция не определена на множестве отрицательных чисел, поэтому при переходе
необходимо учесть, что
x+2 >0

Получаем двойное неравенство

0 < x +2 < 4

Прибавляем к каждой части (–2):

–2 < x < 2

x=–1;0;1 – целые решения.

О т в е т. 1– наибольшее целое.


Остальные решаются аналогично

Решайте. Есть вопросы : спрашивайте. Это полезнее чем просто переписать готовое решение.



2.
x²–3x+2 ≤ 2
Знак неравенства сменился на противоположный.

0<x²–3x+2 ≤ 2
Получаем двойное неравенство

0 < x²+3x+2 ≤ 2,

которое можно заменить системой двух неравенств:
{x²–3x+2 >0 D=9–8=1; корни 1 и 2 ⇒ х < 1 или x > 2
{x²+3x+2 ≤ 2 ⇒ x²+3x ≤ 0 ⇒ x·(x+3) ≤ 0 ⇒ –3 ≤ x ≤ 0

Решение системы:
–3 ≤ x ≤ 0

целые: –3;–2;–1;0

О т в е т. 4 целых решения

3.
Отличается от первых двух тем, что основание логарифмической функции 5.
Функция возрастает.
Поэтому знак неравенства не меняется:

{(x+2)< 18/(7–x) ⇒ (x²–5x+4)/(x–7)<0 ⇒ x<1; 4 < x < 7
{x+2>0 ⇒ x > –2

x ∈ (–2;1)U(4;7)

Целые: –1;0; 5;6
Cумма 10

4.

{(1–2x)/x ≥ 1
{(1–2х)/х>0
⇒
только первое решаем. Решения второго входят в решение первого

( например:
{t ≥ 1
{t>0 ⇒
t ≥ 1)

(1–2x)/x – 1 ≥ 0 ⇒

(1–2x–x)/x ≥ 0
(1–3x)/x ≥ 0

____ (0) __+__ [1/3] ___

x ∈ (0;1/3]