Задача 21843 Исследование функции y=(x^3+1)/(x^2-1)...
Условие
Решение
x^2-1=(x+1)(x-1)
1) D(y)=(–∞;-1)U(-1;1)U(1;+ ∞)
Вертикальная асимптота
х=1, так как
lim_(x→ 1+0)f(x)=+∞
lim_(x→ 1-0)f(x)=-∞
х=-1 не является вертикальной асимптотой.
lim_(x→- 1+0)f(x)=lim_(x→ -1-0)f(x)=(-1)^2-(-1)+1/(-1-1)=-3/2
Точка (-1;-3/2) отсутствует на графике - ''дырка'' там.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной
у(–х) ≠-у(х)
y(–x) ≠ y(x)
3)limx→ +∞)f(x)=+бесконечность
limx→–∞f(x)=- бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
k=limx→∞(f(x))/x=1
b=limx→∞(f(x)-x)=0
у=х - наклонная асимптота
4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
x^3+1=0
x^2-1≠0
точек пересечения с осью Ох нет
C осью Оу
х=0 ⇒ у=-1
5)
y`=((x^3)+1)`*(x^2-1)-(x^2-1)`*(х^3+1))/(x^2-1)^2;
y`=(x^4-3x^2-2x)/(x^2-1)^2
y`=0
(x^4-3x^2-2x)=0 ⇒ x*(x+1)(x^2-x-2)=0⇒ x=0; x=-1;x=2
(x^2-1)≠0
x=0 и х=2 - точки возможного экстремума
Знак производной
_+__ (0) ___-___ (2) __+_
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с +
на - .
Функция возрастает при x∈ (–∞;0) и (2;+∞)
убывает при x∈ (0;1) и (1;2)
у(0)=-1 - максимум функции
у(2)=3 - минимум функции
6)y``=((x^4-3x^2-2x)/(x^2-1)^2)`=
(x^4-3x^2-2x)`(x^2-1)^2-((x^2-1)^2)`*(x^4-3x^2-2x))/(x^2-1)^4=
=(2x^3+6x^2+6x+2))/(x^2-1)^3
y``=0
2x^3+6x^2+6x+2=0 ⇒ x=-1
(x^2-1)^3 ≠ 0
точек перегиба нет
Функция выпукла вверх на (– ∞ ;1)
выпукла вниз на (1; бесконечность ) 