Задача 52976 Найдите производную функции /...

vk284147118

2020-08-06 14:49:07

Найдите производную функции / f(x)=sqrt(2x+sin4x) и вычислите f'(Pi/2)

sova

2020-08-06 15:04:18

★

По формуле производной сложной функции:
[m]y=\sqrt{u(x)}[/m] ⇒ [m]y`=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u`(x)[/m]


[m]u(x)=2x+sin4x[/m]


[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2x+sin4x)`[/m]

По формуле производной сложной функции:
[m] (sinu)`=cosu \cdot (u)`[/m]

[m]u=4x[/m] ⇒ [m](sin4x)`=cos4x \ cdot(4x)`[/m]


[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4x)`)[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4))[/m]

[m]y`=\frac{1}{\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (1+2\cdot cos4x)[/m]

[m]y`=\frac{1+2cos4x}{\sqrt{2x+sin4x}}[/m]


[m]y`(\frac{\pi}{2})=\frac{1+2cos4\cdot (\frac{\pi}{2})}{\sqrt{2\cdot (\frac{\pi}{2})+sin4\cdot(\frac{\pi}{2}) }}=\frac{1+2cos 2 \pi}{\sqrt{\pi+sin2 \pi}}=\frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{3\sqrt{\pi}}{\pi}[/m]