Задача 21138 Окружность, проходящая через вершины А и...

u462507481

15.12.2017

Окружность, проходящая через вершины А и С треугольника АВС, пересекает стороны AB и CB в точках Q и P соответственно. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AP в точке E и отрезок CQ – в точке F. Найдите длину AE, если QF=6, PE=7, CF=9.

SOVA

29.01.2018

★

Четырехугольник AQPC вписан в окружность, суммы противолежащих углов равны 180 градусов.
∠ ВАС+ ∠ QPC=180^(o)
Углы
∠ BPQ и ∠ OPC - смежные, их сумма 180 градусов.
Поэтому ∠ ВАС= ∠ BPQ
Аналогично
∠ ВСА= ∠ BQР

Треугольник АВС и AQP подобны по двум углам.
АС:QP=AB:BP=BC:BQ

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Поэтому
AE:EP=AB:BP(=AC:QP)
и
FC:QF =BC:BQ(=AC:QP)

AE:EP=FC:QF
AE:7=9:6
AE=7*9/6=10,5
О т в е т. 10,5