Задача 37830 В июле планируется взять кредит в банке...

loiso

2019-05-31 11:54:51

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 13 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,56 млн рублей?

sova

2019-05-31 13:50:13

★

Взятый в сумме 13 млн. руб кредит на след год увеличится на 20%, т.е становится равным 1,2*13 млн. руб

Затем идет погашение кредита, таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год.

Предположим, что кредит взят на х (целое число) лет.

Тогда после первого года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*13 [/b] (млн. руб) (сумма кредита делится на х лет + проценты первого года)

Сумма долга составит
1,2*13-((13/х)+0,2*13)= 13-(13/х)=13*(х-1)/х млн. руб.


После второго года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х)) [/b] (млн. руб) (сумма кредита, деленного на х лет + проценты второго года)

Сумма долга составит
1,2*(13*(х-1)/х) -((13/х)+0,2*(13*(х-1)/х))= (13(х-1)/х)-(13/х)=13*(х-2)/х млн. руб.

Таким образом сумма долга через х лет будет равна 13*(х-х)/х = 0
млн. руб.
наименьший годовой платёж в последний год составит

(13/x)+0,2*(13*(x-(x-1))/x)=(13/x)+0,2*(13/x)=(13/x)*1,2

Что по условию равно 1,56 млн. руб

Уравнение:

(13/x)*1,2=1,56

[b]x=10[/b]


Размер выплат составит:

(13/х) +0,2*13 +(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х))+ ... +(13/х) +0,1*(13*(х-(x-1))/х))=

=x*(13/x)+ 0,2*13*(1+(x-1)/x+ (x-2)/x+ ... +1/x)=

=13+0,2*13*((x/x)+(x-1)/x + (x-2)/x + ... +1/x)=

=13+0,2*13*(1/x)*(x+(x-1)+(x-2) + ... +1) =
считаем сумму по формуле суммы арифм. прогрессии

=13+13*0,2*(1/х)(1+x)*x/2= [b]13+13*0,1*(x+1)[/b]


При х=10

13+13*0,1*11= [b]27,3[/b] млн. руб


О т в е т. на 10 лет, сумма выплат 27,3 млн руб