Задача 34178 Найти координаты точки В симметричную...

yelymcheav

2019-03-04 19:24:44

Найти координаты точки В симметричную точке М(1;2) относительно прямой 4x-y+1=0

sova

2019-03-04 21:19:25

Чтобы построить точку В, симметричную точке М, относительно прямой 4х-у+1=0, проводим прямую перпендикулярную данной
и получаем точку пересечения двух прямых, точку О.
[b]Координаты точки пересечения[/b] можно [b]не находить[/b]

По определению симметричных точек:
МО=ВО

Уравнение прямой задано в виде:
Ах+Ву+С=0
значит vector{n}=(A;B) - нормальный вектор данной прямой
является направляющим вектором прямой, перпендикулярной
данной.

Уравнение данной прямой
4х-у+1=0
vector{n}=(4;-1)

Уравнение прямой МВ, проходящей через точку M(1;2)
с направляющим вектором vector{s}=(4;-1)
имеет вид
(x-1)/4=(y-2)/(-1) ⇒ -x+1=4y -8; x+4y-9=0 - [b]уравнение прямой MВ[/b]

Можно получить уравнение прямой МВ и другим способом, с помощью углового коэффициента k: произведение угловых коэффициентов [b] взаимно перпендикулярных прямых[/b] равно (-1)


Точка B(x_(1);y_(1)) принадлежит прямой МВ, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:
x_(1)+4y_(1)-9=0
Точка О(x_(o);y_(o)) принадлежит данной прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению
4х_(о)-у_(о)+1=0
Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4х_(о)-у_(о)+1=0

Так как
МО=ВО ⇒ О-середина МВ

x_(o)=(1+x_(1))/2
y_(o)=(2+y_(1))/2

Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4*(1+x_(1))/2 - (2+y_(1))/2 +1=0

{x_(1)+4y_(1)-9=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

{2x_(1)+8y_(1)-18=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

Вычитаем из первого второе:
17у_(1)/2-20=0
y_(1)=40/17
x_(1)=9-4y_(1)=9-(160/17)=-7/17

О т в е т. (-7/17;40/17)