Задача 45845 ...

annyanne

2 апреля 2020 г. в 20:41

3. ∫ (x⁴ – 1) / (x³ + 4x) dx

sova

2 апреля 2020 г. в 21:11

★

Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть.
Можно делить углом.
Можно "искусственно" выделить в числителе знаменатель:
x⁴–1=x⁴+4x²–4x²–1=(x⁴+4x²)–(4x²+1)=x·(x³+4x)–(4x²+1)

И делим это выражение на знаменатель:

[m]\frac{x^4-1}{x^3+4x}=\frac{x\cdot(x^3+4x)}{x^3+4x}-\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=x-\frac{4x^2+1}{x^3+4x}[/m]

Раскладываем правильную дробь [m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}[/m]

на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

Для этого знаменатель раскладываем на множители

x³+4x=x·(x²+4)

[m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=\frac{A}{x}+ \frac{Mx+N}{x^2+4}[/m]

Коэффициенты А, M, N и есть неопределенные, их надо найти
из равенства дробей.

Приводим дроби справа к общему знаменателю:

[m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=\frac{A\cdot (x^2+4)+x\cdot (Mx+N)}{x\cdot (x^2+4)}[/m]

Дроби равны, знаменатели равны, осталось приравнять числители:
[m]4x^2+1=A\cdot (x^2+4)+x\cdot (Mx+N)[/m]

[m]4x^2+1=Ax^2+4A+Mx^2+Nx[/m]

[m]4x^2+1=(A+M)x^2+4A+Nx[/m]

Два многочлена равны, если равны степени ( у нас оба квадратные)
и равны коэффициенты при одинаковых степенях перемнных:

при x²
4=A+M
при х
0=N
при x⁰
1=4A

A=1/4
M=4–(1/4)=15/4
[m]\int \frac{x^4-1}{x^3+4x}dx=\int xdx- \frac{1}{4}\int\frac{dx}{x}-\frac{15}{4}\int \frac {xdx}{x^2+4}=[/m] [m]\frac{x^2}{2}- \frac{1}{4}ln|x|-\frac{15}{8}ln|x^2+4|+C[/m]