y`+P(x)y=Q(x)y^(n)
n=2
Решают [i]методом Бернулли[/i].
Ищут решение y в виде произведения u*v
y=u*v
y`=u`*v + u*v`
Уравнение принимает вид:
u`*v + u*v`-u*v*tgx=- (uv)^2cos^2x
Выносим за скобки u:
u`*v + u(v`-vtgx)=- (uv)^2cos^2x
Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы
[blue]v`- vtgx =0[/blue]
тогда
[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green]
Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными
Первое :
[blue]v`- vtgx =0[/blue] ⇒
[m]\frac{dv}{v}= \frac{sinxdx}{cosx}[/m]
Интегрируем
[m]\int \frac{dv}{v}=\int \frac{sinxdx}{cosx}[/m]
d(cosx)=(cosx)`dx=-sinxdx
sinxdx=-d(cosx)
[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]
ln|v| = -ln|cosx| ( C=0) ⇒ ln|v| = ln|cosx| ^(-1)
v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]
Решаем второе уравнение:
[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green], где v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]
u`=-u^2*cosx
[m]-\frac{du}{u^2}=cosxdx[/m]
Интегрируем
[m]-\int \frac{du}{u^2}=\int cosxdx[/m]
[m]\frac{1}{u}=sinx + C[/m] ⇒
u= [m]\frac{1}{sinx+C}[/m] ⇒
y=u*v= [m](\frac{1}{sinx+C})\cdot\frac {1}{cosx}[/m] - о т в е т.