Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 39712 y'-ytgx+y^2cosx = 0...

Условие

y'-ytgx+y^2cosx = 0

математика ВУЗ 3231

Решение

Линейное уравнение первого порядка.[i] Уравнение Бернулли[/i]
y`+P(x)y=Q(x)y^(n)

n=2

Решают [i]методом Бернулли[/i].
Ищут решение y в виде произведения u*v

y=u*v
y`=u`*v + u*v`

Уравнение принимает вид:

u`*v + u*v`-u*v*tgx=- (uv)^2cos^2x

Выносим за скобки u:

u`*v + u(v`-vtgx)=- (uv)^2cos^2x

Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы

[blue]v`- vtgx =0[/blue]

тогда

[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green]


Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными

Первое :

[blue]v`- vtgx =0[/blue] ⇒

[m]\frac{dv}{v}= \frac{sinxdx}{cosx}[/m]

Интегрируем
[m]\int \frac{dv}{v}=\int \frac{sinxdx}{cosx}[/m]

d(cosx)=(cosx)`dx=-sinxdx

sinxdx=-d(cosx)

[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

ln|v| = -ln|cosx| ( C=0) ⇒ ln|v| = ln|cosx| ^(-1)

v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]

Решаем второе уравнение:

[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green], где v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]

u`=-u^2*cosx

[m]-\frac{du}{u^2}=cosxdx[/m]

Интегрируем

[m]-\int \frac{du}{u^2}=\int cosxdx[/m]

[m]\frac{1}{u}=sinx + C[/m] ⇒

u= [m]\frac{1}{sinx+C}[/m] ⇒


y=u*v= [m](\frac{1}{sinx+C})\cdot\frac {1}{cosx}[/m] - о т в е т.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК