Задача 24183 ...

u9425168115

25 февраля 2018 г.

Решите систему неравенств

{ log_7–x (1 – x)/(x – 7) ≤ –1,
{ (x² – 4x + 3)/(x – 2) + (4x – 22)/(x – 7) ≤ x + 2.

SOVA

25 февраля 2018 г.

★

ОДЗ:
{7–x > 0 ⇒ x < 7
{7–x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{(1–x)/(x–7) > 0 ⇒ c учетом x < 7 получаем x > 1

ОДЗ: х ∈ (1;6)U(6;7)

Первое неравенство:
log_7–x(1–x)/(x–7) ≤ –1·log_7–x(7–x)
или
log_7–x(1–x)/(x–7) ≤ log_7–x(7–x)^–1

log_7–x(1–x)/(x–7) ≤ log_7–x(1/(7–x))

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, согласно которому последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
(7–x–1)·((1–x)/(x–7)–(1/(7–x)) ≤ 0
(6–х)·(2–х)/(х–7) ≤ 0

(1) __–__ [2] _____+______ (6) __–___ (7)

Решение первого неравенства с учетом ОДЗ:
1 < x ≤ 2 или 6 < x < 7

Решаем второе неравенство.
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю
((x²–4x+3)·(x–7)+(x–2)·(4x–22)–(x+2)·(x–2)·(x–7))/((x–2)·(x–7)) ≤ 0

(5х–5)/(x–2)(x–7) ≤ 0
__–__ [1] _+__ (2) _____–____ (7) __+___
C учетом ОДЗ:
2 < x < 7

решением системы служит пересечение решений первого ви второго неравенств

О т в е т. (6;7)