Задача 30839 ...

maryney23

2018-11-07 20:50:39

Пусть векторы а и в неколлинеарны и АВ=альфа/2×а, ВС= 4(бетта×а-b), CD=-4бетта×b, DA= a+альфа×b. Найти альфа и бетта и доказать коллинеарность векторов ВС и DA
С решением. Ответы: альфа=2, бетта= -1/2, DA=-1/2BC

sova

2018-11-07 22:08:29

★

vector{AB}+vector{BC}+vector{CD}+vector{DA}=vector{0}
( α /2)*vector{a}+4*( β *vector{a}-vector{b})-4*( β vector{b})+vector{a}+α*vector{b}=vector{0}

(( α /2) + 4* β + 1)*vector{a}+(- 4 - 4* β + α )*vector{b}=vector{0}

Пусть векторы а и в неколлинеарны, значит их линейная комбинация равна 0, если:
{( α /2) + 4* β + 1=0
{- 4 - 4* β + α = 0

{( α /2) + 4* β = -1
{ α - 4* β = 4

Складываем
3*( α /2)=3
( α /2)=1
α =2

β = -1/2

vector{BC} = 4*( β *vector{a}-vector{b}) = - 2*vector{a} - 4*vector{b};
vector{DA} = vector{a}+α*vector{b}= vector{a}+2vector{b}

vector{BC}= - 2*vector{DA} ⇒ vector{ВС} и vector{DA} коллинеарны