Задача 44113 ...

brightestkitty

2020-02-10 12:54:57

КАК МОЖНО БЫСТРЕЕ!
Исследовать функцию и построить ее график:
y=x⁴-4x²

sova

2020-02-10 15:15:18

★

Функция четная:
y(-x)=(-x)^4-4*(-x)^2=x^4-4x^2=y(x)

y`=4x^3-8x

y`=0

4x^3-8x=0

4x*(x^2-2)=0

x=0 или x= ± sqrt(2) - точки возможного экстремума.

Применяем достаточное условие, т.е проверяем знак производной:

__-_ (-sqrt(2)) __+___ (0) ___-___ ( sqrt(2)) __+___


y`<0 ⇒ функция убывает на (- ∞ ;-sqrt(2)) и на (0; sqrt(2))

y`> 0 ⇒ функция возрастает на (-sqrt(2); 0) и на (sqrt(2); + ∞ )



x= ± sqrt(2) - точки минимума, производная меняет знак с - на +

y(± sqrt(2) )=(± sqrt(2) )^4-4*(± sqrt(2) )^2=4-4*2=-4

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=0


y``=(4x^3-8x)`

y``=12x^2-8

y``=0


12x^2-8=0

3x^2-2=0

x= ± sqrt(2/3) - точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак:

_+_ ( -sqrt(2/3)) __-__ ( sqrt(2/3)) __+__


Функция выпукла вниз на (-sqrt(2/3); sqrt(2/3))

выпукла вверх на (- ∞ ;-sqrt(2/3)) и на (sqrt(2/3); + ∞ )