Задача 30765 Подробно с формулами и пояснениями...
Условие
Решение
Правила:
интеграл от суммы равен сумме интегралов;
постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
= ∫ sqrt(x)dx-2 ∫ (1/sqrt(x))dx=
= ∫ x^(1/2)dx- 2 ∫ x^(-1/2)dx =
формула 1
=x^((1/2)+1)/((1/2)+1) - 2*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=
=x^(3/2)/(3/2) - 2*x^(1/2)/(1/2) + C=
=(2/3)* sqrt(x^3) - 4sqrt(x) + C.
б)
Так как
d(1+3cosx)=(1+3cosx)`dx=(-3sinx)dx
Значит
sinxdx=(-1/3)d(1+3cosx)
∫ (sinx)dx/(1+3cosx) = ∫ (-1/3)d(1+3cosx)/(1+3cosx)=
постоянный множитель вынесем за знак интеграла.
Применяем формулу 2 (правая колонка; u=1+3cosx)
=(-1/3)ln|1+3cosx|+C
в)
Интегрирование по частям
∫ udv=u*v- ∫ v*du
Полагаем
u=lnx
dv=x^3dx
тогда
du=(lnx)`dx=(1/x)dx=dx/x
v= ∫ dv= ∫x^3dx=(x^4)/4 ( применили формулу 1)
∫ (lnx)*(x^3dx)= (lnx)*(x^4/4) - ∫ (x^4/4)*(dx/x)=
вычисляем второй интеграл по формуле 1
=(x^4*lnx)/4 - (1/4) ∫ x^3dx= (x^4*lnx)/4 - (1/4) *( x^4/4) + С =
= (x^4*lnx)/4 - (x^4/16) + C
