Задача 32658 ...

vk344135258

11 января 2019 г. в 21:48

Даны комплексные числа z1 и z2 в алгебраической форме. Требуется: 1) представить z1 и z2 в тригонометрической форме; 2) найти: а) z1³ · z2⁴; б) z1⁵ / z2³; в) корень четвертой степени из z2 и построить.

4. z1 = –1 – i; z2 = 2 + 2√3i

sova

12 января 2019 г. в 12:21

1)
z₁=–1–i

|z₁|=√(–1)²+(–1)²=√1+1=√2
argz₁=phi

sin(phi)=–1/|z₁|=–1/√2
cos(phi)=x/|z₁)=–1/√2
phi=–3π/4

z₁=√2·(cos(–3π/4)+i·sin(–3π/4))

Аналогично

|z₂|=√2²+(2√3)²=√16=4

argz₂=ψ

sinψ=y/|z₂|=2√3/4=√3/2
cosψ=x/|z₂)=2/4=1/2
ψ=π/3

z₂=4·(cos(π/3)+i·sin(π/3))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z³₁=√2³(cos3·(–3π/4)+i·sin3·(–3π/4))=

=2√2·(cos(–9π/4)+i·sin(–9π/4))=2√2·(cos((–π/4)+i·sin(–π/4))=2–2·i

z⁴₂=(4)⁴·((cos4·(π/3)+i·sin4·(π/3))=
=256·(cos(4π/3)+i·sin(4π/3)=
=–128–128√3·i
z³₁·z⁴₂=(2–2i·)(–128–128√3·i)=
=–256+256·i–256√3·i+256√3·i²=(–256√3–256)+(256–256√3)·i

б)
z⁵₁=(√2)⁵(cos5·(–3π/4)+i·sin5·(–3π/4))=
=4√2·(cos(–15π/4)+i·sin(–15π/4))=
=4√2·(cos(–3π/4)+i·sin(–3π/4))=
=–4–4i

z³₂=(4)³·((cos3·(π/3)+i·sin3·(π/3))=
= 64·(cos(π)+i·sin(π))=–64


z⁵₁/z³₂=(–4–i·4))/(–64)=

=(1/16)+i·(1/16)



в)

z^1/4₂=(4)^1/4·cos(((π/3)/4)+(πk/2))+i·sin((((π/3)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^1/4₂)₀=√2·(cos(π/12)+i·sin(π/12))

при k=1
(z^1/4₂)₁=√2·(cos(7π/12)+i·sin(7π/12))

при k=2
(z^1/4₂)₂=√2·(cos(13π/112)+i·sin(13π/12))

при k=3
(z^1/4₂)₂=√2·(cos(19π/12)+i·sin(19π/12))

4 числа и являются ответом.
Их расположение на рисунке:

Рисуем окружность радиуса √2

Откладываем луч (π/12).
Пересечение окружности и луча – точка z_o

Откладываем луч (7π/12).
Пересечение окружности и луча – точка z₁

Откладываем луч (13π/12).
Пересечение окружности и луча – точка z₂

Откладываем луч (19π/12).
Пересечение окружности и луча – точка z₃