Задача 28042 ...
Условие
а) y = (3-x)/x^2
б) y = log_3〖(x^2+3x-1)〗
4. Исследовать функцию y = x^3-12x^2+36x
5. Решить уравнения :
а) (3tg x - √3)(2sin x+1) = 0
б) 9log_(9(x^2-5))〖=31〗
в) 3^(x^(2-4,5) ) √3 = 1/27
6. Вычислить определенные интегралы
а) ∫_0^1▒〖(2x^3+1)〗^4 x^2 dx
б) ∫_0^1▒xarctgxdx
7. Из вершины B треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB^1. Найдите расстояние от точки B до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см, ∠ВАС = 150° и двугранный угол ВАСВ1 равен 45°.
8. Решить задачу:
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Все решения
a) Формула (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
y`=((3-x)`*x^2-(x^2)`*(3-x))/(x^2)^2
y`=(-x^2-2x*(3-x))/x^4
y`=(x^2-6x)/x^4
y`=(x-6)/x^3
б) Формула
(log_(3)u)`=u/uln3
y`=(2x+3)/((x^2+3x-1)*ln3)
4.
D(y)=(- бесконечность;+ бесконечность )
y`=3x^2-24x+36
y`=0
3x^2-24x+36=0
x^2-8x+12=0
D=64-48=16
x=2 или x=6
Находим знак производной
_+__ (2) ___-___ (6) __+__
x=2 - точка максимума
x=6 - точка минимума
Функция возрастает на (- бесконечность ;2) и на (6;+ бесконечность )
убывает на (2;6)
См. рис.1
5
а) 3tgx-sqrt(3)=0 ⇒ tgx=sqrt(3)/3 ⇒ x=(Pi/6)+Pik, k ∈ Z
или
2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^n*(-Pi/6)+Pin, n ∈ Z
один из корней при n=2m+1 пересекается с корнем первого уравнения
О т в е т. (Pi/6)+Pik, k ∈ Z; x=(-Pi/6)+2Pim, m ∈ Z
в) 3^(x^2-4,5)*3^(0,5)=3^(-3)
x^2-4=-3
x^2=1
x= ± 1
О т в е т. ± 1
6. Применяем метод подведения под дифференциал
d(2x^3+1)=8x^2dx
=(1/8) ∫^(1) _(0)(2x^3+1)^4d(2x^3+1)=
=(1/8)*((2x^3+1)^5/5)|^(1)_(0)=
=(1/40)*(2+1)^5=243/40
б)
Интегрирование по частям
u=arctgx
dv=xdx
du=dx/(1+x^2)
v=x^2/2
=((x^2/2)*arctgx)|^(1)_(0)- (1/2)∫^(1)_(0)(x^2dx/(1+x^2))=
( во втором интеграле +1 и -1)
= ((x^2/2)*arctgx)|^(1)_(0)- (((1/2)x)|^(1)_(0)+((1/2)arctgx)|^(1)_(0)=
=(1/2)*arctg1)-(1/2)+(1/2)arctg1=(Pi/4)-(1/2)
8
По формуле классической вероятности
р=m/n=3/8
7.
В_(1)K⊥ АС
∠BAK=45 градусов - линейный угол двугранного угла ВАСВ1
В треугольнике ВКА ∠ ВАК=180 градусов- 150 градусов=30 градусов.
ВК⊥ АС по теореме о трех перпендикулярах
ВК и есть искомое расстояние
Δ ВКА - прямоугольный с углом в 30 градусов.
Катет ВК равен половине гипотенузы.
ВК=1
О т в е т. ВК=1 