Задача 41412 ...
Условие
Решение
vector{F}=(P;Q;R)
P=x^2
Q=-y^2
R=z^2
σ : x^2+y^2+z^2=R^2
vector{n}= ± (2x; 2y; 2z)
Так как в условии указана внешняя нормаль, значит cos γ >0, берем
вектор со знаком +
vector{n}= (2x; 2y; 2z)
vector{F}*vector{n}=x^2*2x+(-y^2)*2y+z^2*z=2x^3-2y^3+2z^3
[b] ∏ = ∫∫_(σ)(2x^3-2y^3+2z^3)d σ [/b]
или
Нормируем вектор vector{n} , делим на длину, получаем единичный вектор
vector{n^(o)}= (x/R; y/R; z/R)
Направляющие косинусы:
[blue]cos α =x/R
cos β =y/R
cos γ =z/R[/blue]
или
∏ = ∫∫_(σ)(x^2dydz-y^2dxdz+z^2dxdy)=
=∫∫_(σ)(x^2dydz)- ∫∫_(σ)(y^2dxdz)+ ∫∫_(σ)(z^2dxdy)=
Проекции поверхности σ
на пл. ХОУ - четвертая часть окружности x^2+y^2=R^2
на пл. ХОZ - четвертая часть окружности x^2+z^2=R^2
на пл. ZОУ - четвертая часть окружности y^2+z^2=R^2
Cчитаю третий интеграл:
Переходим к полярным координатам
∫∫_(σ)(z^2dxdy)=
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
dx dy= ρ dpd θ
z^2=(R^2-x^2-y^2)=(R^2- ρ^2)
0 ≤ ρ ≤ R
0 ≤ θ ≤ π/2
∫∫_(σ)(z^2dxdy)=∫∫_(D_(xOy))(z^2dxdy) ∫^(π/2)_(0)[b]([/b] ∫^(R)_(0)(R^2- ρ ^2) ρ d ρ [b])[/b]d θ
= ∫^(π/2)_(0) [b]([/b]∫^(R)_(0)R^2* ρ d ρ [b])[/b]d θ -∫^(π/2)_(0) [b]([/b]∫^(R)_(0) ρ ^2* ρ d ρ [b])[/b]d θ =
=R^2∫^(π/2)_(0) [b]([/b] ρ ^2/2)|^(R)_(0)[b])[/b]d θ -∫^(π/2)_(0)[b]([/b] ρ ^4/4)|^(R)_(0)[b])[/b]d θ =
=(R^4/2)*(π/2)-(R^4/4)*(π/2)=[b]πR^4/8[/b]
Аналогично
∫∫_(σ)(x^2dydz)=[b]πR^4/8[/b]
∫∫_(σ)(y^2dxdz)=[b]πR^4/8[/b]
О т в е т. П=[b]πR^4/8 - πR^4/8+πR^4/8=πR^4/8[/b]
Все решения
П= ∫div[b]F[/b]*dV
div[b]F[/b]=2x-2y+2z
П= ∫ ∫ ∫ (2x-2y+2z)dzdydx=πR^4/8
интеграл по dz от 0 до sqrt(R^2-x^2- y^2)
интеграл по dy от 0 до sqrt(R^2-x^2)
интеграл по dx от 0 R