Задача 47157 Вычислить объём тела, заданного...

vk403177433

2020-04-15 10:27:46

Вычислить объём тела, заданного представленными уравнениями,
используя его поперечные сечения
z=2+x^(2)+9y^(2); z=4

sova

2020-04-15 13:03:43

★

[m]z=2+x^2+9y^2[/m]- эллиптический параболоид

с осью Оz и вершиной в точке (0;0;2)

Пересекаем плоскостью[m] z=z_{o}[/m]

Решаем систему:

{[m]z=z_{o}[/m], [b]2< z_(o) < 4[/b]
{[m]z=2+x^2+9y^2[/m]



[m]2+x^2+9y^2=z_{o}[/m]

[m]x^2+9y^2=z_{o}-2[/m]

[m]\frac{x^2}{z_{o}-2}+\frac{y^2}{\frac{z_{o}-2}{9}}=1[/m] - эллипс

[m]a^2=z_{o}-2[/m]

[m]b^2=\frac{z_{o}-2}{9}[/m]

[m]S(z_{o})=\pi \cdot \sqrt{z_{o}-2}\cdot \sqrt{\frac{z_{o}-2}{9}}[/m]

Значит

[m]S(z)=\pi \cdot \sqrt{z-2}\cdot \sqrt{\frac{z-2}{9}}=\frac{\pi}{3}(z-2)[/m]

[m]V= ∫ ^{4}_{2}\frac{\pi}{3}(z-2)dz=\frac{\pi}{3}(\frac{z^2}{2}-2z)|^{4}_{2}=[/m]