Задача 38278 Дан прямоугольный параллелепипед ... с...

anastasi

21 июня 2019 г. в 17:40

Дан прямоугольный параллелепипед ... с боковыми рёбрами .... На рёбрах АВ, ВС, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки ... таким образом, что .... Пусть ... центры сфер, описанных около тетраэдров .... соответственно. Найдите PQ, если ...

sova

21 июня 2019 г. в 21:32

Тетраэдр BLKB' с вершиной в точке В, плоские углы при вершине – прямые.
Такой тетраэдр называется прямоугольным тетраэдром
К нему применимы методы, которые мы применяем к прямоугольному треугольнику.

В частности, достраиваем прямоугольный треугольник до прямоугольника. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника – диагональ прямоугольника

Достраиваем тетраэдр BLKB' до параллелепипеда.

Значит центр сферы, описанной около прямоугольного тетраэдра BLKB' – точка пересечения диагоналей K L' и K ' L прямоугольника KK'L'L. ( см. рис.1)

Q=K L' ∩ K ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Q_o – проекция точки Q на плоскость основания ABCD.
KQ_o=Q_oL

Аналогично,
Тетраэдр CMLC' с вершиной в точке C, плоские углы при вершине – прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра – точка пересечения диагоналей прямоугольника
MM'L'L
R=M L' ∩ M ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
R_o – проекция точки R на плоскость основания ABCD.
R_o – cередина LM.

Тетраэдр AKNA' с вершиной в точке A, плоские углы при вершине – прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра – точка пересечения диагоналей прямоугольника
KK'N'N
P=K N' ∩ K 'N
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

См. рис. 2

P_o – проекция точки P на плоскость основания ABCD.
KP_o=P_oN

P_o – cередина KN.

Q_oR_o=QR=1 ⇒ KM=2

По условию
AB:BC=3:2
Обозначим АВ=3х; ВС=2х

Так как
АК : КВ = 4 :5
AK=(3x/9)·4=4x/3
KB=(3x/9)·5=5x/3

Так как
BL : LC = 3 : 1
BL=(2x/4)·3=3x/2
LC=(2x/4)·1=x/2

Так как
СМ : MD = 7:2
СМ=(3х/9)·7=7х/3
MD=(3x/9)·2=2x/3

Так как DN:NA = 3:1
DN=(2x/4)·3=3x/2
NA=(2x/4)·1=x/2

Из прямоугольной трапеции АКMD
KM²=AD²+(AK–MD)²
KM²=(2x)²+((4x/3)–(2x/3))²
KM²=40x²/9
KM=2x√10/3

Так как ранее было отмечено, что КМ=2QR=2
2x·√10/3=2
x=3/√10

Из прямоугольной трапеции LCDN:
LN²=CD²+(ND–LC)²
LN²=(3x)²+((3x/2)–(x/2))²
LN²=10x²
LN=x·√10=(3/√10)·√10=3

P_oQ_o=(1/2)LN=3/2=1,5

PQ=P_oQ_o=1,5

О т в е т. 1,5