Задача 20169 (1+x^2)y''+2xy'=x^3 дифуры высокого...
Условие
дифуры высокого порядка с постоянными переменными
Решение
y``+(2x/(1=x^2))y`=x^3/(1+x^2)
Замена
y`=z
y``=z`
z`+p(x)z`=q(x)
Ищем решение в виде
z(x)=u(x)*v(x)
z`=u`v+uv`
u`v+uv`+puv=q
u`v+u*(v`+pv)=q
v`+pv=0
dv/dx=-(2x)v/(1+x^2) - уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=(-2x)dx/(1+x^2)
Интегрируем.
ln|v|=-ln|1+x^2|+lnC
v=C/(1+x^2)
C=1 (полагаем так)
u`*v=(x^3)/(1+x^2)
u`/(1+x^2)=(x^3)/(1+x^2)
u=(x^4/4)+C_(1)
z=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))
y`=z
y`=C_(1)/(1+x^2)+(x^4)/(4+4x^2)
y`=C_(1)/(1+x^2)+(1/4)*(x^4-1)/(1+x^2)+(1/4)*1/(1+x^2)
y`=C_(1)/(1+x^2)+(1/4)*(x^2-1)+(1/4)*1/(1+x^2)
Интегрируем
y=C_(1)arctgx+(x^3/12)-(x/4)+(1/4)stctgx+C_(2)
О т в е т. y=C_(1)arctgx+(x^3/12)-(x/4)+(1/4)stctgx+C_(2)