Задача 30882 ...

lizaezyorova

2018-11-09 13:55:53

Hайти производную функции z(x,y)=y*arctg[sqrt(lnx) в точке M(2;1) по направлению t⇒ =(3;2) . С какой максимальной скоростью z(x;y) растет в точке и в каком направлении?

sova

2018-11-09 14:13:09

z`_(t)=z`_(x)cos α +z`_(y)*cos β

cos α =t_(x)/sqrt(t^2_(x)+t^2_(y))
cos β =t_(y)/sqrt(t^2_(x)+t^2_(y))

Так как
cos α =3/sqrt(3^2+2^2)=3/sqrt(13)
cos β =2/sqrt(3^2+2^2)=2/sqrt(13)
z`_(x)=y*/(1+(sqrt(lnx))^2)*(sqrt(lnx))`_(x)=

=y/((1+lnx)*2sqrt(lnx))*(lnx)`=y/(2x*(1+lnx)*sqrt(lnx))

z`_(y)=arctg sqrt(lnx)

z`_(x) (M)=1/(4*(1+ln2)*sqrt(ln2))
z`_(y)(M)=arctgsqrt(ln2))


z`_(t)(M)=z`_(x)(M)cos α +z`_(y)(M)cos β

z`_(t)(M)= 3/(4*sqrt(13)*(1+ln2)*sqrt(ln2)) + 2*(arctgsqrt(ln2))/sqrt(13) - о т в е т.