Задача 47663 Решите, пожалуйста, интеграл!...
Условие
Решение
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=arctg t[/m] ⇒[m]x=2 arctg t[/m]
[m]dx=\frac{2dt}{1+t^2}[/m]
[m]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/m]
[m]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]
Пределы интегрирования
[m]x=-\frac{\pi}{2}[/m] ⇒ [m] t=tg(-\frac{\pi}{4})=-1[/m]
[m]x=\frac{\pi}{2}[/m] ⇒ [m] t=1[/m]
Получаем
[m]\int^{1}_{-1} \frac{4\cdot \frac{2t}{1+t^2}}{2+2\cdot \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2}=[/m]
[m]\int^{1}_{-1} \frac{16t dt}{(t^2+4t+3)(1+t^2)}[/m]
Под интегралом дробь ее раскладываем на простейшие:
[m]\frac{16t dt}{(t^2+4t+3)(1+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}+\frac{Mt+N}{t^2+1}[/m]
Находим коэффициенты A, B, M и N.