Задача 42450 Решите неравенство: [m]\frac{(x^2 + x)...
Условие
[m]\frac{(x^2 + x) \log_8(x^2 + 4x - 4)}{|x - 2|} \geq \frac{\log_8 (-x^2 - 4x + 4)^6}{x - 2}.[/m]
Решение
{x^2+4x-4>0 ⇒ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);+ ∞ )
{(-x^2-4x+4)^6>0 ⇒ -x^2-4x+4 ≠ x ≠ -2 ± 2sqrt(2)
{x-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)U(2;+ ∞ )
[i]Первый случай[/i]
при x ∈ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)
x-2 <0
|x-2|=-x+2
Уравнение принимает вид:
[m]\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{-x+2}\geq \frac{log_{8}(-x^2-4x+4)^6}{x-2}[/m]
так как (-x^2-4x+4)^6=(-1*(x^2+4x-4))^6=(-1)^6*(x^2+4x-4)^6=(x^2+4x-4)^6
[m]\frac{log_{8}(x^2+4x-4)^6}{x-2}+\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]
Применяем свойство логарифма степени:
log_(8)(x^2+4x-4)^6=6*log_(8)|x^2+4x-4|=(cм. первое неравенство ОДЗ)=
=6*log_(8)(x^2+4x-4)
[m]\frac{6log_{8}(x^2-4x+4)+(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]
[m]\frac{(x^2+x+6)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]
Решаем методом интервалов:
Находим нули числителя:
x^2+x+6 > 0 при любом х, D=1-4*6 <0
log_(8)(x^2+4x-4)=0 ⇒ x^2+4x-4=8^(0) ⇒ x^2+4x-5=0
D=4^2-4*(-5)=16+20=36
x_(1)=-5; x_(2)=1
Расставляем знаки на (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)
_-__ [-5] __+_ (-2-2sqrt(2)) ||||||||| (-2+2sqrt(2)) _+__ [1] __-__ (2)
О т в е т первого случая (- ∞ ;-5] U[1;2)
[i]Второй случай [/i]
при x ∈ (2;+ ∞ )
x-2 >0
|x-2|=x-2
Уравнение принимает вид:
[m]\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\geq \frac{log_{8}(-x^2+4x-4)^6)}{x-2}[/m]
[m] \frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}- \frac{6log_{8}(x^2-4x+4)}{x-2}\geq0[/m]
[m]\frac{(x^2+x-6)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\geq0[/m]
Решаем методом интервалов:
Находим нули числителя:
x^2+x-6 = 0 , D=1+4*6=25
x_(3)=-3; x_(4)=2
как и в первом случае:
log_(8)(x^2+4x-4)=0 ⇒ x^2+4x-4=8^(0) ⇒ x^2+4x-5=0
x_(1)=-5; x_(2)=1
Ни один из найденных корней не принадлежит промежутку (2;+ ∞)
рассматриваемому во втором случае.
О т в е т второго случая х ∈ (2;+ ∞)
О т в е т. Объединяем ответы 1 и 2
(- ∞ ;-5] U[1;2) U (2;+ ∞)
