Задача 14005 Решить в натуральных числах уравнение...

slava191

27 февраля 2017 г.

Решить в натуральных числах уравнение x³–27y³=37

SOVA

27 февраля 2017 г.

★

(x–3y)·(x²+3хy+9y²)=1·37

Число 37 – простое, слева произведение двух скобок.
37 можно представить как произведение 1 и 37
Рассмотрим два случая
1)
{х–3у=1 ⇒ x=3y+1
{x²+3хy+9y²=37
(3y+1)²+3(3у+1)·y+9y²=37;
9y²+6y+1+9y²+3y+9y²=37;
27y²+9у–36=0
3y²+y–4=0
D=1–4·3·(–4)=49
y1=(–1–7)/6=–4/3 – не натуральное число
у₂=(–1+7)/6=1
х₂=3у₂+1=3·1+1=4

или

2)
{х–3у=37
{x²+3y+9y²=1
(37+3у)²+3(37+3y)+9y²=1–уравнение не имеет решений в натуральных числах
Все коэффициенты положительные и по теореме Виета, сумма корней, которая равна коэффициенту при первой степени у, взятому с противоположным знаком.
Сумма – отрицательная, произведение положительное. Значит оба корня отрицательны.

О т в е т. х=4; у=1
проверка:
4³–27·1³=64–27=37– верно