Задача 14005 Решить в натуральных числах уравнение...
Условие
Решение
Число 37 - простое, слева произведение двух скобок.
37 можно представить как произведение 1 и 37
Рассмотрим два случая
1)
{х-3у=1 ⇒ x=3y+1
{x^2+3хy+9y^2=37
(3y+1)^2+3(3у+1)*y+9y^2=37;
9y^2+6y+1+9y^2+3y+9y^2=37;
27y^2+9у-36=0
3y^2+y-4=0
D=1-4*3*(-4)=49
y1=(-1-7)/6=-4/3 - не натуральное число
у_(2)=(-1+7)/6=1
х_(2)=3у_(2)+1=3*1+1=4
или
2)
{х-3у=37
{x^2+3y+9y^2=1
(37+3у)^2+3(37+3y)+9y^2=1-уравнение не имеет решений в натуральных числах
Все коэффициенты положительные и по теореме Виета, сумма корней, которая равна коэффициенту при первой степени у, взятому с противоположным знаком.
Сумма - отрицательная, произведение положительное. Значит оба корня отрицательны.
О т в е т. х=4; у=1
проверка:
4^3-27*1^3=64-27=37- верно