Задача 38432 y''+5y'+6y=e ^ 2x...

vk462267312

2019-06-28 12:51:28

y''+5y'+6y=e ^ 2x

sova

2019-06-28 13:34:55

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+5y'+6y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+6=0
D=25-24=1

k_(1)=-3; k_(2)=-2 - корни действительные различные,

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x) - общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение
находим в виде
y_(частное неодн)=Аe^(2x)
y`_(частное неодн) =2Ae^(2x)
y``_(частное неодн)=4Ae^(2x)

Подставляем в данное неоднородное уравнение:
4Ae^(2x) +5 *2Ae^(2x)+6*Ae^(2x)=e^(2x)
20Ae^(2x)=e^(2x)
A=1/20

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

y=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) +(1/20)*e^(2x) - общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.