Задача 44477 Решите при всех значениях...

saklethil

2020-02-24 01:10:45

Решите при всех значениях а
|2x-2a+3|+|2x-4a+3|=4

sova

2020-02-24 09:00:32

★

Обозначим
2x+3=t

Уравнение принимает вид:

|t-2a|+|t-4a|=4

t-2a=0 ⇒ t=2a

t-4a=0 ⇒ t=4a

Рассмотрим плоскость аОt ( это координатно-параметрический метод)

Строим прямые

t=2a и x=4a

см. рис.

Прямые разбивают всю плоскость аОt на 4 части

Раскрываем знак подмодульных выражений в каждой части

t-2a>0 в II и III областях
t-2a < 0 в I и IY областях

(см. рис.2)
t-4a > 0 во III и IY областях
t-4a < 0 в I и II областях

Тогда уравнение принимает вид:
в I области: -t+2a-t+4a=4 ⇒ -2t+6a=4 ⇒t=3a-2
во II области: t-2a-t+4a=4 ⇒ 2a=4 ⇒ a=2
в III области: t-2a+t-4a=4 ⇒2t-6a=4 ⇒ t=3a+2
в IY области -t+2a+t-4a=4 ⇒ -2a=4 ⇒a=-2

Строим в каждой области прямую, соответствующую уравнению:

cм. рис. 3

a ∈ (- ∞ ;-2) нет решений

a=-2
t_(1)=-4; t_(2)=-8 ( cм замена : 2х+3=t) ⇒ x_(1)=-3,5; x_(2)=-5,5

a ∈ (-2;2)
два решения:
t=3a-2;
t=3a+2

( cм замена : 2х+3=t) ⇒2x+3=3a-2; 2x+3=3a+2
x=(3a-5)/2
x=(3a-1)/2

a=2
t_(3)=4
t_(4)=8
x_(1)=-0,5
y_(2)=-2,5

a>2 нет решений

О т в е т.
При a ∈ (- ∞ ;-2) U(2;+ ∞ ) нет решений
При a ∈ [-2;2] два решения:

при а=-2
x=-3,5; x=-5,5

при a ∈ (-2;2) x=3a-5)/2; x=(3a-1)/2

при а=2
х=-0,5; х=-2,5