Задача 39824 а) Найдите все значения а, при которых...

evfka

2019-09-24 13:05:19

а) Найдите все значения а, при которых |x-2| = a если |x-a| = 1;

б) Найдите все значения а, при которых |x-2a+a^2| = a, если |x-a| = 2-a

sova

2019-09-24 13:38:58

a)
|x-a|=1 ⇒ x-a= ± 1 ⇒ a=x-1 или a=x+1
|x-2|=a ⇒ a ≥ 0 ⇒

|x-2|=x-1, x-1 ≥ 0 или |x-2|=x+1, x+1 ≥ 0

Возводим в квадрат

x^2-4x+4=x^2-2x+1 ⇒ 2x=3 ⇒ x=1,5
при x=1,5
a=x-1=[blue]0,5 [/blue] ≥ 0

x^2-4x+4=x^2+2x+1 ⇒ 6x=3 ⇒ x=0,5
при x=0,5
a=x+1=[red]1,5[/red] ≥ 0

О т в е т. 0,5; 1,5

б)
|x-a|=2-a ⇒ [blue] x- a=2-a[/blue] или [green] x-a=a-2[/green]

[blue]x- a=2-a [/blue] ⇒ x=2

При x=2
|2-a|=2-a ⇒ 2-a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2

Тогда при x=2 и a ≤ 2
из равенства
|2-2a+a^2|=a
находим a.
a ≥ 0
(|2-2a+a^2| неотрицательное выражение, значит и a ≥ 0)

2-2а+a^2=a или 2-2а+a^2= -a
a^2-3a+2=0 или a^2-a+2=0
D=9-8=1 или D=1-8 < 0 уравнение не имеет корней
a=(3 ± 1)/2
a_(1)=[red]1[/red];a_(2)=[red]2[/red]

[green] x-a=a-2[/green]

x=2a-2

2a-2-2a+a^2|=a ⇒

|a^2-2|=a,
a ≥ 0

a^2-2=a или a^2-2=-a
a^2-a-2=0 или a^2+a-2=0
D=9 или D=9
a=(1 ± 3)/2 или a=(-1 ± 3)/2
a=-1; a=2 или а=-2; a=1

a=-1 не удовл условию a ≥ 0
a=-2 не удовл условию a ≥ 0

a_(1)=1; a_(2)=2 как и в первом случае ( при х=2)

О т в е т. 1 и 2