Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в области D: z =3 - 2x^2 - xy - y^2; D: {x=1; y=0; y=x }
z`_(y)=-x-2y
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{-4x-y=0
{-x-2y=0 ⇒ х=-2у
-4*(-2у)-y=0
y=0
x=0
Cтационарная точка принадлежит области D, является граничной точкой
Находим вторую производную
z``_(xx) = - 4
z``_(xy) = z``_(yx) = -1
z``_(yy)=-2
Δ=(-4)*(-2)-(-1)*(-1)=7 > 0
z``_(xx) < 0
(0;0)- точка максимума
z(0)=3
Находим значения на границе:
если х=1
z=3-2-y-y^2
z=-y^2-y+1 - парабола ветви вниз, 0 меньше или равно y меньше или равно 1
y=-1/2 - абсцисса вершины параболы
z((-1/2))=5/4
y(1;1)=-1
у=х
z=3-2x^2-x^2-x^2
z=3-4x^2
y=0
z=3
(0;0) - точка максимума
z(0;0)=3
(1;1) - точка минимума
z(1;1)=-1
[youtube=https://youtu.be/va9Ml47FCMI]
[youtube=https://youtu.be/iGGzNJfF8Pg]