Задача 41672 Исследуйте на экстремум функцию z = x^3...

vk158182350

19 ноября 2019 г. в 14:08

Исследуйте на экстремум функцию

z = x³ + y² – 6xy – 39x + 18y + 20.

sova

19 ноября 2019 г. в 21:33

★

z`<sub>x</sub>=3x<sup>2</sup>–6y–39
z`_y=2y–6x+18

Находим стационарные точки:
{z`<sub>x</sub>=0
{z`_y=0

{3x²–6y–39=0
{2y–6x+18=0 ⇒ y=3x–9
и подставим в первое уравнение:

3x²–6·(3x–9)–39=0
3x²–18x+54–39=0
3x²–18x+15=0
x²–6x+5=0
D=36–20=16
x₁=1; x₂=5

у₁=–6; y₂=6

Исследуем точки M(1:–6) и N(5;6) на экстремум

Находим вторые частные производные:
z``<sub>xx</sub>=6x
z``_xy=–6
z``_yy=2


А=z``<sub>xx</sub>(М)=6
B=z``_xy=–6
C=z``_yy=2

Δ=AC–B²=6·2–(–6)²<0
точка М не является точкой экстремума

А=z``<sub>xx</sub>(N)=6·5=30
B=z``_xy=–6
C=z``_yy=2

Δ=AC–B²=30·2–(–6)²>0
точка N является точкой экстремума
Так как
А=z``_xx(N)=30 >0
Это точка минимума

z_наим=z(5;6)= 5³+6²–6·5·6–39·5+18·6+20=... калькулятор и считаем самостоятельно