Задача 10466 Дано уравнение...

slava191

10.10.2016

Дано уравнение log^2_(3)(-tgx)-log3(sqrt(-tgx)) = 0

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу (4Pi; 11Pi/2)

SOVA

10.10.2016

★

ОДЗ: -tgx > 0 ⇒ tgx < 0 ⇒ x∈((-π/2)+πk;πk), k∈Z.
По свойству логарифма степени
log_(3)(√–tgx) = log_(3)(-tgx)^(1/2)=(1/2)log_(3)(-tgx).
Уравнение примет вид
log^2_(3)(–tgx)–(1/2)log_(3)(–tgx) = 0.

Замена
log_(3)(–tgx)=t

t^2-(1/2)t=0;
t(t-1/2)=0
t=0 или t=1/2

log_(3)(–tgx)=0
-tgx=3^(0)
tgx=-1
x=(-π/4)+πn, n∈Z
или
log_(3)(–tgx)=1/2.
-tgx=√3;
tgx=-√3
x=(-π/3)+πm, m∈Z - корни принадлежат ОДЗ.
О т в е т. А)(-π/4)+πn; (-π/3)+πm, где n, m∈Z
Б)Найдем при каких m выполняются неравенства
4π < (-π/4)+πn < 11π/2, n∈Z
и
4π < (-π/3)+πm < 11π/2, m∈Z

4 < (-1/4)+n < 11/2, n∈Z
прибавим (1/4)
17/4 < n < 23/4
верно при n=5=(20/4)


4 < (-1/3) + m < 11/2
верно при при m=5
4 < (-1/3) + 5 < 11/2 - верно, так как
4 < 4 целых 2/3 < 11/2
4 < 28/6 < 33/6.

О т в е т. Б) ((-π/4)+5π)∈ (4π; 11π/2) и ((-π/3)+5π)∈ (4π; 11π/2)