Задача 10466 Дано уравнение...

slava191

10 октября 2016 г. в 00:00

Дано уравнение log²₃(–tgx)–log₃(√–tgx) = 0

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу (4π; 11π/2)

SOVA

10 октября 2016 г. в 00:00

★

ОДЗ: –tgx > 0 ⇒ tgx < 0 ⇒ x∈((–π/2)+πk;πk), k∈Z.
По свойству логарифма степени
log₃(√–tgx) = log₃(–tgx)^1/2=(1/2)log₃(–tgx).
Уравнение примет вид
log²₃(–tgx)–(1/2)log₃(–tgx) = 0.

Замена
log₃(–tgx)=t

t²–(1/2)t=0;
t(t–1/2)=0
t=0 или t=1/2

log₃(–tgx)=0
–tgx=3⁰
tgx=–1
x=(–π/4)+πn, n∈Z
или
log₃(–tgx)=1/2.
–tgx=√3;
tgx=–√3
x=(–π/3)+πm, m∈Z – корни принадлежат ОДЗ.
О т в е т. А)(–π/4)+πn; (–π/3)+πm, где n, m∈Z
Б)Найдем при каких m выполняются неравенства
4π < (–π/4)+πn < 11π/2, n∈Z
и
4π < (–π/3)+πm < 11π/2, m∈Z

4 < (–1/4)+n < 11/2, n∈Z
прибавим (1/4)
17/4 < n < 23/4
верно при n=5=(20/4)


4 < (–1/3) + m < 11/2
верно при при m=5
4 < (–1/3) + 5 < 11/2 – верно, так как
4 < 4 целых 2/3 < 11/2
4 < 28/6 < 33/6.

О т в е т. Б) ((–π/4)+5π)∈ (4π; 11π/2) и ((–π/3)+5π)∈ (4π; 11π/2)