Задача 43695 Решите тригонометрические уравнения...
Условие
Все решения
Делим обе части уравнения на 2:
[m]\frac{1}{2}cos7x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin7x=\frac{1}{2}sin5x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x[/m]
Заменим слева
[m]\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3}[/m]
[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}[/m]
справа:
[m]\frac{1}{2}=sinx\frac{\pi}{6}[/m]
[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{\pi}{6}[/m]
[m]cos\frac{\pi}{3}\cdot cos7x-sin\frac{\pi}{3}\cdot sin7x=sin\frac{\pi}{6}\cdot sin5x+cos\frac{\pi}{6}\cdot cos5x[/m]
Применяем формулу ( см приложение)
[m]cos(3x+\frac{\pi}{3})=cos(x-\frac{\pi}{6})[/m]
[m]cos(3x+\frac{\pi}{3})-cos(x-\frac{\pi}{6})=0[/m]
Применяем формулу разности косинусов:
cos α -cos β
2.
Так же как преобразовали справа, только не делим на 2, а выносим 2 за скобки, а в квадрате это дает 4
Получим:
[m]4\cdot(sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx+cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx)^2-5=cos(\frac{\pi}{6}-x)[/m]
Замена
[m]cos(\frac{\pi}{6}-x)=cos(x-\frac{\pi}{6})=t[/m]
Квадратное уравнение
4t^2-t-5=0
D=1-4*4*(-5)=81
t_(1)=-1; t_(2)=5/4
Обратная замена
[m]cos(x-\frac{\pi}{6})=-1[/m] ⇒ [m]x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,[/m] n ∈ Z
[m]cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{5}{4}[/m] - не имеет корней
О т в е т. [m]x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,[/m] n ∈ Z