Задача 30371 ...

vk344135258

19 октября 2018 г. в 23:47

Задание 3. Используя определение предела последовательности, доказать равенство
lim f(n) = a сначала для любого ε>0, а затем для ε=b.
n→∞

sova

20 октября 2018 г. в 09:58

★

1)
Находим
| f(n)–a|=|(5n–4)/(2n+1) – (5/2)|=|(2·(5n–4)–5·(2n–1))/(2n+1)|=13/(2n+1)

Решаем неравенство:
13/(2n + 1) < ε

( по свойству неравенств: если 1/a < 1/b, то a > b,
a и b – положительные)

(2n+1)/13> 1/ε


2n + 1 > 13/ε

2n > (13/ε)–1

n > (13–ε)/2ε

Достаточно N (ε)=[(13–ε)/2ε] + 1

[(13–ε)/2ε] – квадратные скобки означают целую часть числа(13–ε)/2ε

Для любого ε>0 найдется N(ε), что как только
| f(n)–a| < ε

N=[(13–ε)/2ε] + 1
что и доказывает существование предела по определению


Найдем при каких n

13/(2n+1) < 0, 0001

2n+1/13 > 10 000 (по свойству неравенств:
если 1/a < 1/b, то a > b (a и b – положительные)


2n+1> 130 000

2n > 130 000 – 1

2n > 129 999

n > 64 999,5
[64 999,5]=64999

N=64999+1=65 000

2)

Находим
| f(n)–a|=|(5n+4)/(5n–6) – 1|=|(5n+4 –(5n–6))/(5n–6)|=2/(5n–6)

Решаем неравенство:
2/(5n – 6) < ε
( по свойству неравенств: если 1/a < 1/b, то a > b,
a и b – положительные)

(5n–6)/2> 1/ε

5n – 6 > (2/ε)

5n > (2/ε)+6

n > (2+6ε)/(5ε)

Достаточно N (ε)=[ (2+6ε)/(5ε)] + 1
[(2+6ε)/(5ε)] – квадратные скобки означают целую часть числа.

Для любого ε>0 найдется N(ε), что как только
| f(n)–a| < ε

N=[ (2+6ε)/(5ε)] + 1

что и доказывает существование предела по определению


Найдем при каких n

2/(5n–6) < 0, 01

(5n–6)/2 > 100 ( по свойству неравенств:
если 1/a < 1/b, то a > b, a и b – положительные)

5n–6 > 200

5n>202

n> 40,4

[40,4]=40

N=41