Задача 23903 Наудачу взяты два положительных числа х...

slava191

18 февраля 2018 г.

Наудачу взяты два положительных числа х и y,каждое из которых не превышает единицы. Найти веро­ятность того, что сумма x+у не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0,09.

SOVA

18 февраля 2018 г.

★

Пусть Х и У – выбранные числа, их возможные значения
0 ≤ Х ≤ 1
0 ≤ У ≤ 1
Геометрическая интерпретация указанной области – квадрат со сторонами 1.
S=S(квадрата)=1
Благоприятствующие условия – попадание Х и У в область
OТКРMD, определяемую системой неравенств
{x+y ≤ 1
{xy ≤ 0,09
{0 ≤ x ≤ 1
{0 ≤ y ≤ 1

Найдем координаты точек К и М.
{x+y=1 ⇒ y=1–x
{y=0,09/x

1–x=0,09/x
x²–x+0,09=0
D=1–4·0,09=1–0,36=0,64
x_К=0,1 y_K=0,9
x_M=0,9 y_M=0,1

S(FКРMD)= S( трапеции KMDF)– S ( криволин. треуг. КРМ)=

=(1/2)·((KF+MD)·FD/2)– ∫^0,9 _0,1(0,09/x)dx=

= ((0,9+0,1)·0,8/2)–(0,09lnx)|^0,9 _0,1=

=0,4–0,09·(ln0,9–ln0,1)=0,4–0,09·ln9=

=0,4 – 0,18ln3=0,4 – 0,197750... ≈ 0,20225

p=mes( Δ ОАКPMB)/mes(квадрата со стороной 1)≈0,20225/1=0,20225