Задача 32119 y'+4xy=2xe^(-x^2)* sqrt(y)...

vk80868203

2018-12-19 01:45:05

y'+4xy=2xe^(-x^2)* sqrt(y)

sova

2018-12-19 09:26:39

Линейное неоднородное первого порядка.
Решаем однородное:
y'+4xy=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=-4xdx
Интегрируем
∫ dy/y=-4 ∫xdx
ln|y|=-2x^2+C_(1)

y=e^(-2x^2+C_(1))

y=C*e^(-2x^2); e^(C_(1))=C

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*e^(-2x^2);

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-2x^2)`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-4x)

Подставляем в уравнение

C`(x)*e^(-2x^2)-4х*C(x)*(e^(-2x^2))+4х*C(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)=2x*sqrt(C(x)) - уравнение с разделяющимися переменными

dC(x)/dx=2x*sqrt(C(x))

dC(x)/sqrt(C(x))=2хdx

Интегрируем

∫ dC(x)/sqrt(C(x))= ∫ 2хdx

2sqrt(C(x))=x^2 + c
4C(x)=(x^2+c)^2
C(x)=(x^2+c)^2/4


y=C(x)*e^(-2x^2)

y=e^(-2x^2)*(x^2+c)^2/4